数学中的游戏因素及其对于数学的影响

时间：2014-08-18 23:21:57 来源：作者：本文已影响：人

的游戏，数学中的游戏因素给数学带来了无穷的魅力，从而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了数学的发展。因而，不论是数学家还是一般的游戏者都促进了数学事业的发展。此外，游戏对数学的发展还表现在另外三个方面：游戏激发了许多重要数学思想的产生，游戏促进了数学知识的传播，游戏是数学人才发现的有效途径。

　　1．游戏激发了许多重要数学思想的产生。
　　数学史上经常出现这种情况，许多数学思想起源于对于一些令人迷惑不解的问题的锲而不舍地探索，这些问题往往从表面上看来不过是供人消遣的游戏而已，甚至看来与数学的情境毫无关系，然而最后问题的解决却产生令人意想不到的新的数学思想。例如，自古以来，悖论出现在广泛的学科范围，包括文学、科学、数学。不管什么类型的悖论，其中的创造性和令人困惑的推理都充满了趣味和给人异乎寻常的智力上的快感。特别地，数学的悖论不仅可以供人娱乐，而且还是很好的智力练习和发现的乐土，许多数学学科的完善都与悖论有关，如实数理论、微积分、集合论等。可以说数学中几乎每一门学科都或多或少受到游戏精神的激发而得到发展。最典型的例⑹歉怕事邸⑼悸酆妥楹鲜Ыⅰ?

　　概率论直接起源于一个关于赌博的游戏。17世纪，法国的一个名为德．梅勒的职业赌徒针对赌博中常常遇到“怎样合理分配赌注”问题，向著名数学家帕斯卡请教，这个问题常常称为“点子问题”，即两个赌徒中谁先积满一定数目的点谁就赢得一局；如果在一局结束以前离开赌场，他们应该如何分配赌注？帕斯卡和费马在通信中各自解决了这个问题。对于这个问题的解决和研究标志着不同于以往确定性数学的一种崭新的数学方法—概率论的诞生，它把纯粹偶然事件的表面上的无规律性置于规律、秩序和规则之下，从而成为人类的根本知识之一，并具有广泛应用价值。正如拉普拉斯所说：“这门起源于靠运气取胜的游戏的科学，竟然成了人类知识的最重要的一部分”

　　图论也是一门起源于游戏的学科，它起源于欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究。哥尼斯堡是东普鲁士首府，普莱格尔河横贯其中，上有七座桥将河中的两个岛和河岸连接，一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次？当时大多数人都把这当作有趣的娱乐，但是欧拉发现这个问题可以导向一个另外的契机，他抓住了这个契机并加以发展。1735年，欧拉向圣彼得堡科学院提交了一篇论文，欧拉把这个问题的物理背景变换并简化为一种数学设计（称作图或网络）：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应的两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个图。欧拉证明了这个问题没有解。欧拉指出欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。相反地，这问题属于“位置几何”（莱布尼茨描述拓扑学时首先使用的名称）。所以，哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它的娱乐价值，由此提出的新思想则开辟了数学的一个新的领域—图论。当然游戏娱乐对于图论的作用并没有到此为止，此后许多著名的数学游戏成为图论和拓扑学发展的催化剂和导引，如哈密尔顿问题（绕行世界问题）、四色猜想等。

　　另一个与游戏密切相关的学科是组合数学。组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置方法的数学。二十世纪以前，人们主要从游戏的角度来研究组合数学，例如中国的魔方、纵横图、巴歇砝码问题、柯可曼女生问题、欧拉36名军官问题等等。这些问题推动人们去思考，它们的解答也常常是机智和精巧的。在这个过程中，人们得到了组合数学中一般的存在性定理和计数原理，如抽屉原理、母函数方法、递归关系解法、容斥原理等。

　　事实上，数学学科中一些最伟大的成就，象射影几何、数论、拓扑学、对策论等无不受到游戏精神的影响。总之，由游戏的精神激发出来的数学对象是无止境的。当人们以自愿而嬉笑的心境，而不是以正式的科学常有的严肃认真的背景来看待一门学科时，这种精神就能使科学有效地取得进展。这是因为在解决和创造智力题或游戏的过程中，人们可以不受传统理论概念或方法论的束缚，完全自由地显示他的想象力和发挥他的创造力。正因为如此，游戏成为严肃数学的出发点，有时成为某些学科产生和发展的催化剂。

　　2．游戏对于数学的另一作用是促进了数学知识的传播。
　　游戏之所以具有难以抗拒的魅力的一个很重要的原因是游戏所涉及的问题和内容有趣迷人、浅显易懂。另外又不需要过多的预备知识，只要掌握一般的基本知识，初学者即可登堂入室，理解某一门学科的许多的重要内容。正象读过几部侦探小说的人会情不自禁地觉得自己已有了足够的本领，可以帮助警方破案一样。因此数学游戏常被用来作为严肃数学的一种表现方式，使之更易理解和更具趣味。游戏在数学普及和传播中的有效性一直伴随数学的成长和发展过程中。在人们津津乐道、相互传诵游戏的过程中，也将有关的数学知识和数学思想传送给四面八方的人。下面是历史上这一倾向的几个典型例子

　　成书于公元前1700年的古埃及的阿默士纸草书（也称Rhind纸草书）是为当时的贵族和祭祀
阶层所作的数学普及性的一个问题集（有人说是教科书），其中有些问题是以有趣的歌谣或故事的形式编写而成。因此流传很广，如第79 题关于几何级数的加法问题又演变成“我去圣地爱弗斯”等歌谣流传于欧洲几个国家。

　　欧几里得也在已经失传的一本名为《纠错集》（Pseudaria）的书中使用了一组有趣的谬论，作为激励他的学生进入正确思维过程的手段。阿基米德在他的《数沙粒者》一书开始就说：“过去有个叫吉伦（Gelon）的国王，他认为沙粒的数量是无限的……”，这种以游戏的方式来处理数学的情境的目的就是使他的思想更为人们所理解和接受。

　　中世纪意大利数学家斐波那契（J. Fibonacci）的《算盘书》是一本广泛流传于欧洲各国的著作，这本书流传的原因除了它的内容实用之外，还因为把数学内容寓于生动有趣的游戏之中，如“兔子繁殖问题”、“蓄水池问题”、“野兔和猎狗”、“七个老妇”等几乎成为家喻户晓、人人皆知的数学游戏。此书唤起了欧洲人对于数学的兴趣和重视，为以后欧洲数学的复兴奠定了基础。

　　在世界各地都曾经流传一些著名的数学游戏，如古代中国的韩信点兵、百鸡问题、七巧板、大衍求一术（该问题被多种数学著作改头换面地采用）。古印度的莲花问题、蜜蜂问题……

　　从19世纪末期开始，由于人们意识到游戏在数学知识的普及与传播中的独特的作用，关于数学游戏的收集、编造以及解答等方面的研究受到空前地重视，在众多的研究者中，影响最大的是美国科普作家马丁．加德纳(M. Gardner)的工作，他曾在美国的著名科普杂志《科学美国人》（Scientific Americian）上主持“数学游戏”专栏。他工作的特点是把许多数学思想或知识寓于各种奇妙有趣的故事和问题之中。这些题目初看似乎很难，有时冥思苦索，百思不得其解，但如果放开思路，打破框框，从各种角度去考虑，也许很快就会有所突破，具有“啊呵！灵机一动”的特点。这些妙趣横生的作品使数以百万计的人陶醉于数学乐园之中。以后这些趣题被汇集成册以各种文字出版多次，其影响广泛而又持久。最近，英国数学家康韦（J．Ｈ．Conway）等人在所作的《数学游戏获胜的方法》一书中说：“马丁．加德纳比任何人将更多的数学带给了千百万人。”这句话在肯定了马丁．加德纳的贡献的同时，也道破了游戏对于数学传播的有效性。

　　3．游戏也常常成为数学人才发现的有效途径，从而成为他们进入数学研究的踏脚石。
　　历史上许多数学家是由于解决了某个游戏难题而发现自己具有数学潜能，从此放弃其他选择而献身数学。

　　高斯在数学史上是与阿基米德、牛顿等人并列的数学家，有“数学王子”之称，他填补了古典数学家遗留的许多空白，而又为现代数学开辟了许多意义深远的新道路。高斯成为数学告别过去走向现代的一个象征。这样一位大数学家以数学为职业却是由于在他19岁那年解决了一个长期困扰数学界的、带有游戏色彩的几何作图难题——用尺规作出了一个正十七边形，这一成功使他对自己的数学才能有更加明确的认识，于是，他毅然放弃自己所喜爱的语言学而投身于数学。

　　著名的法国概率学家西米尔．泊松(S. D. Poisson)年青时曾经为找到一个适合自己的职业而大伤脑筋，他的父亲要他学医或法律，但他缺少这方面的欲望。正在苦苦寻觅之时，一道趣题使他意识到自己的习性和兴趣倾向于数学方面。以此为开端，他开始了数学研究生涯。一道游戏趣题而成为他一生的转折点[7]。

　　一般来说，许多具有数学潜能的人往往从小表现出对游戏的迷恋和酷爱，以及在解决方法上的灵活和机智。所以游戏往往成为检测一个人的数学和推理能力的一个标准。如果说上述例子还不足以说明这一点的话，还可以举出许多涉足过游戏的数学家名字：对赌博痴迷终生的意大利数学家卡尔达诺；由魔术师成为20世纪有影响力的美国数理统计学家戴康尼斯（Persi Diaconis）；从小就以玩游戏出名的英国数学家康韦（J .H. Conway）、此外还有莱布尼茨、伯努利、哈密尔顿、冯-诺伊曼、游戏成为自我检测数学才能的试金石。现在各种数学竞赛中包含许多数学游戏，这种做法实际上也是基于“游戏可用于选拔数学人才”的理念。

三．游戏在数学教育中的作用
　　古往今来的数学教育的理论和实践都已证明

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