解答数学题不能只凭想象

时间：2014-08-18 23:35:34 来源：作者：本文已影响：348人

    有些貌似简单，似乎不需要通过计算就能得出结论的问题，往往容易使你判断失误，造成错解。我们先看例1。
    例1 有两块大小一样的正方形钢板，其中一块冲出4块大小一样的圆形钢片（如图1（甲）），另一块冲出 9块大小一样的圆形钢片（如图1（乙））。问哪一块钢板所剩的下脚料多？
    附图{图}
    乍一看，图1（甲）所剩的下脚料多一些，因为图1（甲）中的空隙大，而图1（乙）中，每个圆的面积小，填补空隙的能力强，留下的空隙小，似乎很有道理，其实不然。我们先解决一个简单的问题。如图2，求正方形内切圆的面积占该正方形面积的百分之几？
    a
    不妨设这个正方形的边长为a，则其内切圆的半径为──，
    2
    a
    3.14×（—）[2]
    2 1
    由────────────＝3.14×──＝78.5％，得正方形内
    a[2] 4
    切圆的面积占该正方形面积的78.5％。
    附图{图}
    现将图1中的（甲）（乙）两图添作辅助线，如图3所示：
    附图{图}
    令正方形钢板的面积为S，由上例立即得到，图3（甲）中每个圆形
    1 1
    钢片的面积为──S×78.5％，所剩下脚料的面积为S－──S×78.5％
    4 4
    1
    ×4＝21.5％S。同理，图3（乙）中每个圆形钢片的面积为──S×78.5
    9
    1
    ％，所剩下脚料的面积为S－──S×78.5％×9＝21.5％S。综上所述，
    9两块钢板所剩的下脚料同样多。
    例2 如图4，两只同样大的硬币，其中一只固定，另一只沿其周边滚动（无滑动）。当滚动的一只硬币沿固定的一只硬币周边滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币转了几周？
    附图{图}
    对这个问题不仔细考虑，动币好像转了一周。但认真加以分析，问题并不那么简单。为了便于说明问题，在动币圆周上取一点A（如图4），考察A转过的角度，每转过一个360°为一周。现将此运动分解成两种简单运动。第一种运动，如图5（甲），动币的轴AB 的方向始终指向定币的圆心，B点在定币周边上滑动一周，此时， A转过360°；第二种运动，如图5（乙），动币沿着与定币周长相等的一条线段滚动，A又转过了360°。这样，以上两种运动合起来，动币转了2周。本题，也可以用动币圆心轨迹的长除以动币的周长，求出动币转的周数。以上结果，可通过动手操作，直接得到验证。
    附图{图}
    由此看出，对一些似乎能一眼看出答案的题目，不能只凭想象，还要通过分析、计算或实际操作，从而得出正确的结论。现在，你一定能正确的判断出图6中从A到B 的两条路径（每段弧都是一个半圆）的长短，试试看。

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